Auch wenn man mit Geogebra Lösungen von Gleichungen leicht annähern kann, ist der mathematische Hintergrund von Lösungen von algebraischen Gleichungen n-ten Grades doch eine der wichtigeren Sachen in der Mathematik.

In den folgenden Beispielen leiten wir die Gleichungen her, indem wir die Lösungen vorgeben … das gibt uns aber ein zusätzliches Verständnis der Zusammenhänge und Kontrolle der Lösungen.
Normalerweise ist natürlich nur die Funktion bzw. die Gleichung gegeben.

Als Einstieg nehmen wir eine quadratische Funktion (also eine Polynomfunktion 2. Grades):
Hier können wir mit der quadratischen Lösungsformel die beiden Lösungen berechnen.

Wichtig ist, dass man statt der quadratischen Gleichung auch die Form (x-2)*(x+1)=0 nehmen kann!

Jetzt nehmen wir eine Funktion 3. Grades, wir geben also 3 Lösungen vor und berechnen durch den Ansatz
(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)=0 die Gleichung aus – DAS ist jetzt unsere Angabe.

Die Aufgabe besteht darin, die Nullstellen der Funktion bzw. die Lösungen der Gleichung zu bekommen.

Wir versuchen zuerst eine Lösung zu erraten (Geogebra hilft).
Wir setzen diese Vermutung ein und überprüfen, ob x=2 wirklich eine Nullstelle bzw. Lösung der Gleichung ist:

x=2 ergibt beim Einsetzen wirklich 0 … f(2)=0 stimmt also und wir können x1=2 als Nullsstelle/Lösung nehmen.

Jetzt dividieren wir einfach unser Polynom durch (x-2) und erhalten dann das Restpolynom, welches einen Grad weniger hat (also quadratisch sein muss).

P:(x-2)=R

daher

P=R*(x-2)

Da das Restpolynom aber quadratisch ist, können wir die restlichen beiden Lösungen durch die quadr. Lösungsformeln berechnen und haben somit alle 3 Lösungen.