Alle 8 Lösungs-Möglichkeiten beim Schnitt dreier Ebenen
3 idente Ebenen
Die Ebenen a,b,c sind ident (Gleichungen sind äquivalent)
Im CAS-Fenster (mitte) kann man das Schneiden der 3 Ebenen als Lösung eines 3×3-Gleichungssystems durchführen.
Wichtig: Die geschwungenen Klammern um a,b,c nicht vergessen (LISTE von Gleichungen)
Das Ergebnis hat 2 Freiheitsgrade (hier bei y und z), daher eine Ebene (die Ausgangsebenen).
Natürlich kann man das sofort richtig interpretieren und a, b oder c als Lösungsmenge angeben …
ODER
man berechnet sich 3 Punkte indem man für y und z beliebiege Koordinaten wählt (zur Erinnerung: 2 Freiheitsgrade!) und die x-Koordinate berechnet.
Ich habe hier für Punkt …
- A die Koordinaten y=0, z=0 gewählt, und erhalte für x = 2y-z-2 = 2*0-0-2= -2
- B die Koordinaten y=0, z=1 gewählt, und erhalte für x = 2y-z-2 = 2*0-1-2= -3
- C die Koordinaten y=1, z=0 gewählt, und erhalte für x = 2y-z-2 = 2*1-0-2= 0
Danach kann ich die Ebene durch diese 3 Punkte aufstellen und erhalte wieder dieselbe Ebene a=b=c als Lösungsmenge.
3 verschiedene, parallele Ebenen
Hier erhält man eine leere Lösungsmenge im CAS-Fenster.
Da es aber insgesamt 4 Lagebeziehungen mit leerer Lösungsmenge gibt, muss man hier noch spezifizieren:
die Normalvektoren sind Vielfache voneinander, daher fallen die Fälle weg, in denen zumindeste eine Ebene eine andere Richtung hat.
Es bleiben die Fälle …
- 2 idente Ebenen und eine dazu parallele Ebene
- 3 parallele Ebenen
Da aber keine der Gleichungen paarweise äquivalent sind (also keine der Ebenen ident sind) können die 3 Ebenen nur parallel sein.
2 Ebenen ident, 1 Ebene parallel dazu
Hier erhält man eine leere Lösungsmenge im CAS-Fenster.
Da es aber insgesamt 4 Lagebeziehungen mit leerer Lösungsmenge gibt, muss man hier noch spezifizieren:
die Normalvektoren sind Vielfache voneinander, daher fallen die Fälle weg, in denen zumindeste eine Ebene eine andere Richtung hat.
Es bleiben die Fälle …
- 2 idente Ebenen und eine dazu parallele Ebene
- 3 parallele Ebenen
Zwei der Gleichungen (a und b) sind äquivalent, die dritte (c) nicht, daher sind 2 Ebenen ident und die dritte parallel dazu.
2 Ebenen parallel, eine schneidet
Hier erhält man eine leere Lösungsmenge im CAS-Fenster.
Da es aber insgesamt 4 Lagebeziehungen mit leerer Lösungsmenge gibt, muss man hier noch spezifizieren:
Da die Normalvektoren von a und b Vielfache (also parallel) sind, aber die Gleichungen nicht äquivalent sind
(Man sagt auch, die homogenen Gleichungen sind äquivalent, die inhomogenen sind es nicht)
sind 2 Ebenen parallel und werden von der dritten Ebene geschnitten.
Es gibt aber trotzdem keine Lösungen, da es ja keinen Punkt gibt, der auf allen drei Ebenen liegt – daher ist die Lösungsmenge leer.
2 Ebenen ident, eine schneidet
In diesem Fall erhält man als Lösung eine Gerade (1 Freiheitsgrad z=z).
Es gibt aber 2 Fälle, wo die Lösungsmenge eine Gerade ist:
- keine der Ebenen sind parallel (Ebenen um die Gerade „gedreht“)
- zwei Ebenen sind ident, die dritte Ebene schneidet
Da zwei Gleichungen äquivalent, die Ebenen daher ident sind, ist der zweite Fall eingetreten.
Man kann wieder die Schnittgerade aufstellen (entweder 2 Punkte bestimmen oder z als Parameter nehmen).
Hinweis: Hier könnte man auch a (oder b) mit c schneiden und erhält ebenfalls die Gerade (in ev. nicht so schöner Form):
Hinweis: 2 Ebenen kann man im Algebra-Fenster schneiden, 3 Ebenen nicht!
Schnittpunkt
Das ist eigentlich der Standard.
Stellt man beliebige Ebenen auf, wird man in den meisten Fällen einen Schnittpunkt als Lösung erhalten.
CAS gibt dabei jeweils einen x-, y- und z-Wert aus. Das sind die Koordinaten des Schnittpunkts:
3 Ebenen schneiden sich in einer Geraden
In diesem Fall erhält man als Lösung eine Gerade (1 Freiheitsgrad z=z).
Es gibt aber 2 Fälle, wo die Lösungsmenge eine Gerade ist:
- keine der Ebenen sind parallel (Ebenen um die Gerade „gedreht“)
- zwei Ebenen sind ident, die dritte schneidet
Da alle drei Normalvektoren linear unabhängig voneindander sind, kann nur der erste Fall eingetreten sein.
Man kann wieder die Schnittgerade aufstellen (entweder 2 Punkte bestimmen oder z als Parameter nehmen).
Hinweis: Hier kann man auch 2 der 3 Ebenen schneiden und erhält ebenfalls die Gerade (in ev. nicht so schöner Form):
f = g = h links im Algebra-Fenster
Da man nur 2 Ebenen schneiden muss um die Gerade zu erhalten, funktioniert das im Algebra-Fenster (wir erinnern uns, dass das Schneiden von 2 Ebenen funktioniert) … die 3. Ebene ist ja nicht notwendig, da hier keine „Info“ oder Einschränkung dazu kommt.
3 Ebenen „im Dreieck“ angeordnet
Lösung ist hier wieder die leere Menge.
Hier gibt es zwar paarweise Schnittgeraden, aber keinen Punkt, der auf allen drei Ebenen liegt.
Da alle drei Normalvektoren verschiedene Richtungen haben, ist nur der Fall „Dreiecksanordnung“ möglich.
