Wie erkennt man an Tabellenwerten, ob es sich um eine direkte oder indirekte Proportionalität handelt?
Hier einige Beispiele:
Beispiel 1
Das erste, was wir herausfinden sollten ist die Antwort auf die Frage, welche der beiden Proportionalitäten denn überhaupt in Frage kommen!
Das ist relativ einfach zu beantworten: betrachte ich die x-Werte von oben nach unten so sehe ich, dass sie größer werden (ist ja im Normalfall immer so).
Jetzt betrachte ich, ob die y-Werte ebenfalls von oben nach unten größer werden: 0 .. 5 .. 10 .. 15 .. 20 .. 25 – ja, dass schaut gut aus!
In diesem Fall kann die indirekte Prop. jedenfalls ausgeschlossen werden.
Wir überprüfen, ob es sich wirklich um eine direkte Prop. handelt (dafür muss es eine lineare, homogene Funktion sein), also eine Funktion mit f(x) = k*x.
Der Faktor k mit dem man jeden x-Wert multiplizieren muss um den entsprechenden y-Wert zu erhalten, kann man auf verschiedene Arten ermitteln:
- mit dem Ansatz y = k*x – setzt man für x und y eine Tabellenzeile ein, kann man k berechnen.
- mit dem Ansatz k =y/x – hier erhält man sofort k (prinzipiell der Differenzenquotient)
Ergebnis ist jedenfalls k = 5/2 = 2,5.
Achtung! das muss für JEDE Zeile gelten! – um das zu überprüfen rechne ich entweder jede Zeile nach oder gebe die Wertetabelle für f(x) = 2.5*x mit dem TR aus.
In unserem Beispiel passt das und somit handelt es sich hier wirklich um eine direkte Proportionalität mit k=2,5 bzw. der Funktionsgleichung f(x) = 2,5*x
Beispiel 2
Analog zum Beispiel 1 betrachten wir, ob auf beiden Seiten die Werte in die gleiche Richtung (direkte P.) oder in verschiedene Richtungen (indirekte P.) gehen:
Wir sehen, dass die x-Werte steigen, die y-Werte fallen – somit kann es keine direkte Prop. sein.
Wir müssen also kontrollieren, ob es sich um eine indirekte Prop. handelt.
Bei der indirekten Prop. muss das Zeilenprodukt (x*y) immer gleich sein, nämlich k. (außer bei x=0, dort ist eine indirekte Prop. nicht definiert!)
2*6,0 = 12
4*3,0 = 12
6*2,0 = 12
8*1,5 = 12
10*1,2 = 12
wir erhalten also immer 12, daher ist k=12 und die Funktion lautet f(x) = 12/x.
Beispiel 3
Direkt oder indirekt?
Lösung weiter unten!
Beispiel 4
Direkt oder indirekt?
Lösung weiter unten!
Beispiel 5
Welche Proportionalität liegt vor?
Lösung weiter unten!
Lösungen
Lösung Beispiel 3
Lösung: x- und y- Werte gehen in verschiedene Richtungen, daher Möglichkeit für indirekt.
ABER! x=0 kann nicht definiert sein, da ja der Funktionsterm die Form f(x)=k/x haben muss, also für x=0 nie definiert ist – daher können wir auch ausschließen, dass es sich um eine indirekte Prop. handelt.
Die Tabelle beschreibt daher weder eine direkte, noch eine indirekte Proportionalität!
Bemerkung: falls für x=0 kein y-Wert (n.d.) gestanden wäre, wäre es eine indirekte Prop. mit k = 500.
Lösung Beispiel 4
Hier gehen die x- und y-Werte in die gleiche Richtung, daher Möglichkeit für direkt.
Setzt man irgendeine Zeile in k = y/x ein (z.B: in Zeile 4, weil dort x so schön 1 ist) erhält man k= 1/2 =0,5.
Kontrolliert man nun, ob jeder y-Wert die Hälfte des x-Wertes ist, sieht man, dass alles OK ist.
Es handelt sich hier um eine direkte Proportionalität mit k=0,5 bzw. dem Funktionsterm y(x) = 0,5*x.
Bemerkung: dieser Zusammenhang muss allgemein auch im negativen Bereich gelten. Oft ist es aber in Textbeispielen sinnvoll negative Werte auszuschließen wenn sie nicht in das mathematische Modell passen (z.B. bei Länge, Gewicht, Preis, …)
Lösung Beispiel 5
Hier sind die x-Werte nicht sehr gleichmäßig verteilt, aber trotzdem aufsteigend. Da die y-Werte fallen, kann man sich auf die Kontrolle der indirekten Porp. beschränken:
x=0 kommt in dieser Tabelle nicht vor, daher keine „Falle“ im Sinne von Beispiel 3.
Der Proportionalitätsfaktor wäre aus der ersten Zeile k = 5*100.000 = 500.000
Die Überprüfung ergibt aber, dass in der vorletzten Zeile das Produkt der x- und y-Werte 1.000.000 ist, also kann auch keine indirekte Proportionalität vorliegen!
Die Tabelle beschreibt weder eine direkte, noch eine indirekte Proportionalität!
Ausbessern könnte man die Tabelle, indem man in der vorletzten Zeile den x-Werte 500.000 oder den y-Wert 0,5 = 1/2 schreiben würde.
oder
