Die Eingabe von komplexeren Objekten wie Geraden und Ebenen vereinfacht sich, wenn man die zugrunde liegenden Objekte (Punkte, Vektoren) zuerst eingibt und dann darauf aufbaut!

So ist zwar die Eingabe einer Geraden mit gerade[(2,4.5,7),Vektor[(1,1,1)]] möglich, aber nicht sehr übersichtlich.

Einfacher ist es, zuerst den Punkt und den Vektor zu definieren und dann die Gerade damit zu definieren:
Einen Punkt definiert man, indem man einen Großbuchstaben als Namen eingibt – einen Vektor, indem man einen Kleinbuchstaben als Namen verwendet:

A=(2,4.5,7)
v=(1,1,1)
g=gerade(A,v)

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Aufgabe

Definiere eine rechteckige Pyramide durch die Punkte A, B, C, D und S.
Gegeben sind die Punkte A (2|4|-3), B (5|2|3), C (9|5|2) und S (10|0|-5).

1. Zeige, dass die Seiten AB und BC normal aufeinander stehen
2. Berechne den fehlenden Eckpunkt D der Grundfläche der Pyramide
3. Gib das Volumen der Pyramide an
4. Gib den Winkel zwischen der Seitenfläche ABS und der Grundfläche ABCD an
5. Gib den Winkel zwischen der Seitenkante BS und der Grundfläche ABCD an.
6. Berechne den Fußpunkt der Höhe
7. Berechne die Höhe

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Lösungen:

Eingabe:

A=(2,4,-5)
B=(5,2,3)
C=(9,5,2)
ab=vektor(A,B)
bc=vektor(BC)
ab*bc
winkel(ab,bc)

 

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Eingabe:

D=A+bc
D=C-ab

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Eingabe:

S=(10,0,-5)
Werkzeug „Pyramide“: Klicke auf ABCDAS.
Definiere die 3 Kantenvektoren AB, AD und AS:
ab=vektor(A,B)
ad=vektor(A,D)
as=vektor(A,S)
Ermittle das Volumen = Spatprodukt/3:
kreuzprodukt(ab,ad)*as/3 bzw. abs(kreuzprodukt(ab,ad)*as)/3

Hinweis: wie in diesem Blogbeitrag zkizziert, handelt es sich um eine Pyramide mit Parallelogramm(hier sogar Rechteck) als Grundfläche – daher wird durch 3 dividiert („spitze Körper“).

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Winkelberechnungen in Geogebra:

der Befehl Winkel funktioniert zwischen

• Vektor – Vektor
• Gerade – Gerade
• Ebene – Ebene
• Gerade – Ebene

Daher kann entweder nur mit Vektoren (z.B.: Richtungsvektoren, Normalvektoren) ODER mit Geraden und Ebenen gerechnet werden, aber NICHT mit Mischformen wie z.B. Vektor – Ebene.

Man könnte den Winkel zwischen BS und ABCD z.B. auch mit dem Vektor BS = bs und dem Normalvektor von ABCD = n berechnen:
Winkel = 90°-winkel(bs,n)
Man berechnet also den Winkel zwischen Normalvektor der Ebene und Richtungsvektor der Pyramidenkante. Der Winkel zwischen Ebene und Kante ist dann der Komplementärwinkel davon.

Hinweis: das Vorzeichen ist bei Winkeln im Raum egal, daher ist -51° und 51° in beiden Fällen mit 51° anzugeben.
Achtung! Winkel im Gradmaß MÜSSEN mit dem Gradzeichen ° angegeben werden: 90° und nicht nur 90 … sonst wird Bogenmaß verwendet!

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Eingabe:

n=(-16,27,17)
h=gerade(S,n)
F=Schneide(g,h)
Abstand(F,S)

Die Höhe und damit auch die Trägergerade h der Höhe steht normal auf die Grundfläche.
Aus diesem Grund ist der Normalvektor von g gleichzeitig der Richtungsvektor von h.
Die Gerade wird (nach Eingabe des Vektors n) durch S und n definiert.
Der Fußpunkt F ist dann der Schnittpunkt von h und g.