Beim Schnitt zweier Ebenen haben wir ja 2 Gleichungen und 3 Variablen, also 3-2 = 1 Freiheitsgrad.
Man muss also die Werte einer Variablen frei wählen können.
Der TR gibt bei Eingabe in Sys-Solve (3×3, eine Zeile freilassen bzw. alle Werte 0 setzen) die folgenden 3 Gleichungen aus:
x = 1/3 – 1/3*z
y = 1/3 + 2/3*z
z = z
also setzt der TR damit die z-Variable als frei wählbaren Variablenwert (x und y sind abhängig von z zu berechnen).
Wenn man für z verschiedene Werte wählt, kommen dann eben verschiedene Punkte (x|y|z) heraus … z.B.: die Punkte (0|1|1) oder (-1|3|4) … es gibt natürlich bei „ungeschicktem“ Einsetzen auch nicht so schöne Werte.
Wenn man mindestens 2 Punkte berechnet hat, kann man damit auch eine Gerade (genau die Schnittgerade der beiden Ebenen) aufstellen (Punkt hat man, Vektor mit Spitze-minus-Schaft) … fertig.
Die 2. Möglichkeit ist eigentlich der umgekehrte Weg des Aufspaltens einer Geraden in x, y und z-Zeile.
Dazu kommt noch, dass man auf den rechten Seiten für z einfach den Parameter (hier t) nimmt.
Man erhält dann eine der möglichen Gleichung der Schnittgeraden – wie man sieht nicht unbedingt die schönste, aber jedenfalls eine richtige.
Zusatz-Info: Man kann als Übungsbeispiel überprüfen, ob die beiden Lösungen wirklich dieselbe Gerade beschreiben:
- Richtungsvektoren sind parallel (ja … Faktor 3 bzw. 1/3)
- Punkt der einen Geradengleichung in die andere Geradengleichung einsetzten und eine eindeutige Lösung für t bzw. Lambda finden bzw. einen Parameter finden, der in der einen Geradengleichung den Punkt der anderen Geradengleichung ergibt (t=1, Lambda = -1/3)