Die Lösung zu diesem Beispiel liegt tw. in der Symmetrie:

Man sieht, dass die Wahrscheinlichkeiten und die Abstände der Zufallsvariablenwerte symmetrisch verteilt sind!

Aus diesem Grund ist der Erwartungswert aus logischen Gründen 20.
Rechnerisch ist es auch einfach zu zeigen:
E(X) = (10a + 20b + 30a)/(a+b+a) = (40a + 20b)/(2a+b) = 20(2a + b)/(2a+b) = 20

Eine Aussage über die Standardabweichung kann nicht getroffen werden, da diese von a und b abhängig ist und wir die Werte nicht kennen (z.B. wäre bei a=0 die Standardabweichung ebenfalls 0, aber nicht bei anderen Werten von a)

a+b=1 ist falsch (richtig wäre 2a+b=1)

P(10<=X<=30) = 1 ist richtig, da ja alle möglichen Wahrscheinlichkeiten darin enthalten sind und somit 100% Wahrscheinlichkeit vorherrscht, dass eine dieser Möglichkeiten eintritt.

Der letzte Punkt kann nicht stimmen, da hier von einer symmetrischen Verteilung zwei unsymmetrisch liegende Bereiche gleichgesetzt werden.
P(X<=10) = a
P(X>=10) = 1
Das (a=1) wäre ja auch rein rechnerisch nicht möglich, da a 2-mal vorkommt und daher maximal 0,5 sein kann (bei b=0), aber eher noch kleiner sein wird (bei b>0).